// SRM338 Div1 LV3
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対象となるゲーム
- 二人ゲーム
- 二人とも動かせる手の集合は同じ
- 動かせなくなった方が負け
- 無限ループしない
nim
- n 個の石の山がある
- 一手で 1 ～ n 個取っていい
- 石がなくなって打つ手が無くなった方が負け（最後の石を取った方が勝ち）
*n をサイズ n の山が1個だけの nim とする
- *0 は負け
- *n は勝ち n>=1
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ゲーム
- 状態 G から打てる手で遷移する先を G1, ..., Gk とする
G = {G1, ..., Gk} と書く
ゲームの和
- G1 + G2 を、G1 と G2 の二つのゲームがあって、どちらかを選んで一手進められるゲームとする。
すなわち G1 + G2 = {(v,G2) | v∈G1} ∪ {(G1,u) | u∈G2}
等価
- 二つのゲームG, Fが等価なことを G ≡ F と書く
等価というのは勝ち負け一致よりもっと強い。二つのゲームの和 G+F が必敗になることと定義する。
たとえば *n と *n は同サイズの山2つのnimは必敗なので等価。同サイズでなければ必勝なので等価でない
等価というのは可能な動きの構造がisomorphic/bisimilarというよりは弱い。
たとえば以下で示すように *1 + *3 ≡ *2 だが初手のパターン数など違う。
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補題：必敗 + 必敗 = 必敗
- どう動かしてもと必勝+必敗になるので必敗+必敗に戻されて負ける
補題：必勝 + 必敗 = 必勝
- 必敗+必敗 に動かせばよい
定理：【等価(和を取ると必敗) => 勝ち負け一致】
- 勝ち負け不一致=>必勝が上の補題で言えているので証明終了
注意：
必勝 + 必勝 = 必敗
は成り立たない！ *2 + *1 は 初手で *1 + *1 に行けるのでこれは勝てる
補題：G+G は必敗
- まねっこmoveをされると負けるしかない
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補題：A≡A', B≡B' ならば A+B≡A'+B'
- A+B+A'+B' = (A+A')+(B+B') = 必敗+必敗 = 必敗
定理【ゲームの和はxor】
- *n1 + *n2 = *(n1 xor n2)
- より一般的に G1≡*n1, G2≡*n2 ならば、G1 + G2 ≡ *(n1 xor n2)
証明
- *n1 + *n2 + *(n1 xor n2) が必敗であることを言えば良い。
- (n1 xor n2 xor (n1 xor n2)) は 0 である
- 一手動かすと 0 じゃなくなる
>> n1 と n2 と n1^n2 のどれか一個だけビットが変わるので絶対xorが変わるから
- 相手は一手動かして 0 に戻せる
>> a^b^c = x が非ゼロの場合 a=>a^x か b=>b^x か c=>c^x と動かせばよい
>> つまりa,b,cのどれかは^xすると減ることを言えばよい。
>> a,b,cのうち最上位ビットが立っているものが奇数個ならxも立つのでxorすれば減る
>> 偶数個(2個)なら、その最上位ビットを無視した残りをa',b',c'とするとこれも
>> xorがxなので数学的帰納法的にやることにより巧い減らし方が見つかる。
- よって最終局面"全部 0"になるのは絶対に自分のターン
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補題：Ai≡Ai' ならば {A0,A1,A2,...}≡{A0',A1',A2',...}
- {A0,A1,A2,...}+{A0',A1',A2',...} は必敗。なぜならこちらがどう動かしても
A0+A0', A1+A1', A2+A2', ... のいずれかの必敗状態に遷移させられるから。
定理【ゲームの状態遷移はmex】
- {*n1, ..., *nk} ≡ *mex(n1,...,nk)
where mex(S) = min(nat \setminus S)
- より一般的に G1≡*n1, ..., Gk≡*nk ならば、G={G1, ..., Gk} ≡ *mex(n1,...,nk)
帰納的に、全てのゲームはなんらかの *n と等価
証明
- {*n1, ..., *nk} は *mex(n1,...,nk) と等価。
つまり和を取ると必敗。
*mex(n1,...,nk) 側を動かした場合、相手は対応する ni に遷移する。
{*ni} 側を mex(n1,...,nk) より小さいゲームに動かした場合、mex側を対応する値に変える。
{*ni} 側を mex より大きいゲームに動かした場合、その大きいゲームをmexに下げる。
で両側等価を保ててしまう。
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まとめ
・一手動かした次の局面が *n1 または *n2 または ... なゲーム
{*n1, ..., *nk} ≡ *mex(n1, ..., nk)
・ゲーム *n1 と *n2 とどちらかを選んで一手進められるゲーム
*n1 + *n2 ≡ *(n1 xor n2)
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その他のゲームの組み合わせ（証明があやしい）
定理： ゲーム *n1 と *n2 とどちらか一方または両方一気に進められるゲーム
*n1 <+> *n2 ≡ *(n1 + n2)
証明： 単に１個の山なのとかわらないので勝敗一致どころか同型
補題：A≡A' かつ B≡B' ならば (A<+>B)≡(A'<+>B')。
ゆえに一般に G1≡*n1, G2≡*n2 ならば G1<+>G2 ≡ *(n1+n2)
証明：(A<+>B)+(A'<+>B')が必敗であることを言えばよい。
相手がどう動かしても A<+>B ==> a<+>b
a+a'、b+b'が必敗であるように (a<+>b)+(a'<+>b') と動かせる。
いずれ相手は死ぬ
定理： 先手はゲーム *n1、後手はゲーム *n2 を交互に一手ずつ進めるゲーム
*n1 X *n2 ≡ *(n1<=n2 ? 0 : n2+1)
後手
0 1 2 3 4
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先手 0|0 0 0 0 0
1|1 0 0 0 0
2|1 2 0 0 0
3|1 2 3 0 0
4|1 2 3 4 0
左辺のゲームのmex計算してみるとこうなる。
補題：A≡A' かつ B≡B' ならば (A X B)≡(A' X B')。
ゆえに一般に G1≡*n1, G2≡*n2 ならば G1 X G2 ≡ *(n1<=n2 ? 0 : n2+1)
証明：AxB + A'xB' を Bxa + A'xB' と動かされたら Bxa + B'xa' に動かせて≡が
保てるのでいずれ相手は死ぬ