// SRM338 Div1 LV3 ------------------------------------------------------------------------------------------- 対象となるゲーム - 二人ゲーム - 二人とも動かせる手の集合は同じ - 動かせなくなった方が負け - 無限ループしない nim - n 個の石の山がある - 一手で 1 ~ n 個取っていい - 石がなくなって打つ手が無くなった方が負け(最後の石を取った方が勝ち) *n をサイズ n の山が1個だけの nim とする - *0 は負け - *n は勝ち n>=1 ------------------------------------------------------------------------------------------- ゲーム - 状態 G から打てる手で遷移する先を G1, ..., Gk とする G = {G1, ..., Gk} と書く ゲームの和 - G1 + G2 を、G1 と G2 の二つのゲームがあって、どちらかを選んで一手進められるゲームとする。 すなわち G1 + G2 = {(v,G2) | v∈G1} ∪ {(G1,u) | u∈G2} 等価 - 二つのゲームG, Fが等価なことを G ≡ F と書く 等価というのは勝ち負け一致よりもっと強い。二つのゲームの和 G+F が必敗になることと定義する。 たとえば *n と *n は同サイズの山2つのnimは必敗なので等価。同サイズでなければ必勝なので等価でない 等価というのは可能な動きの構造がisomorphic/bisimilarというよりは弱い。 たとえば以下で示すように *1 + *3 ≡ *2 だが初手のパターン数など違う。 ------------------------------------------------------------------------------------------- 補題:必敗 + 必敗 = 必敗  - どう動かしてもと必勝+必敗になるので必敗+必敗に戻されて負ける 補題:必勝 + 必敗 = 必勝  - 必敗+必敗 に動かせばよい 定理:【等価(和を取ると必敗) => 勝ち負け一致】 - 勝ち負け不一致=>必勝が上の補題で言えているので証明終了 注意: 必勝 + 必勝 = 必敗 は成り立たない! *2 + *1 は 初手で *1 + *1 に行けるのでこれは勝てる 補題:G+G は必敗  - まねっこmoveをされると負けるしかない ------------------------------------------------------------------------------------------- 補題:A≡A', B≡B' ならば A+B≡A'+B' - A+B+A'+B' = (A+A')+(B+B') = 必敗+必敗 = 必敗 定理【ゲームの和はxor】 - *n1 + *n2 = *(n1 xor n2) - より一般的に G1≡*n1, G2≡*n2 ならば、G1 + G2 ≡ *(n1 xor n2) 証明 - *n1 + *n2 + *(n1 xor n2) が必敗であることを言えば良い。 - (n1 xor n2 xor (n1 xor n2)) は 0 である - 一手動かすと 0 じゃなくなる >> n1 と n2 と n1^n2 のどれか一個だけビットが変わるので絶対xorが変わるから - 相手は一手動かして 0 に戻せる >> a^b^c = x が非ゼロの場合 a=>a^x か b=>b^x か c=>c^x と動かせばよい >> つまりa,b,cのどれかは^xすると減ることを言えばよい。 >> a,b,cのうち最上位ビットが立っているものが奇数個ならxも立つのでxorすれば減る >> 偶数個(2個)なら、その最上位ビットを無視した残りをa',b',c'とするとこれも >> xorがxなので数学的帰納法的にやることにより巧い減らし方が見つかる。 - よって最終局面"全部 0"になるのは絶対に自分のターン ------------------------------------------------------------------------------------------- 補題:Ai≡Ai' ならば {A0,A1,A2,...}≡{A0',A1',A2',...}  - {A0,A1,A2,...}+{A0',A1',A2',...} は必敗。なぜならこちらがどう動かしても A0+A0', A1+A1', A2+A2', ... のいずれかの必敗状態に遷移させられるから。 定理【ゲームの状態遷移はmex】 - {*n1, ..., *nk} ≡ *mex(n1,...,nk) where mex(S) = min(nat \setminus S) - より一般的に G1≡*n1, ..., Gk≡*nk ならば、G={G1, ..., Gk} ≡ *mex(n1,...,nk) 帰納的に、全てのゲームはなんらかの *n と等価 証明 - {*n1, ..., *nk} は *mex(n1,...,nk) と等価。 つまり和を取ると必敗。 *mex(n1,...,nk) 側を動かした場合、相手は対応する ni に遷移する。 {*ni} 側を mex(n1,...,nk) より小さいゲームに動かした場合、mex側を対応する値に変える。 {*ni} 側を mex より大きいゲームに動かした場合、その大きいゲームをmexに下げる。 で両側等価を保ててしまう。 ------------------------------------------------------------------------------------------- まとめ ・一手動かした次の局面が *n1 または *n2 または ... なゲーム   {*n1, ..., *nk} ≡ *mex(n1, ..., nk) ・ゲーム *n1 と *n2 とどちらかを選んで一手進められるゲーム   *n1 + *n2 ≡ *(n1 xor n2) ------------------------------------------------------------------------------------------- その他のゲームの組み合わせ(証明があやしい) 定理: ゲーム *n1 と *n2 とどちらか一方または両方一気に進められるゲーム   *n1 <+> *n2 ≡ *(n1 + n2) 証明: 単に1個の山なのとかわらないので勝敗一致どころか同型 補題:A≡A' かつ B≡B' ならば (A<+>B)≡(A'<+>B')。    ゆえに一般に G1≡*n1, G2≡*n2 ならば G1<+>G2 ≡ *(n1+n2) 証明:(A<+>B)+(A'<+>B')が必敗であることを言えばよい。    相手がどう動かしても A<+>B ==> a<+>b    a+a'、b+b'が必敗であるように (a<+>b)+(a'<+>b') と動かせる。    いずれ相手は死ぬ 定理: 先手はゲーム *n1、後手はゲーム *n2 を交互に一手ずつ進めるゲーム   *n1 X *n2 ≡ *(n1<=n2 ? 0 : n2+1)        後手    0 1 2 3 4   ------+----------   先手 0|0 0 0 0 0    1|1 0 0 0 0    2|1 2 0 0 0    3|1 2 3 0 0    4|1 2 3 4 0  左辺のゲームのmex計算してみるとこうなる。 補題:A≡A' かつ B≡B' ならば (A X B)≡(A' X B')。    ゆえに一般に G1≡*n1, G2≡*n2 ならば G1 X G2 ≡ *(n1<=n2 ? 0 : n2+1) 証明:AxB + A'xB' を Bxa + A'xB' と動かされたら Bxa + B'xa' に動かせて≡が    保てるのでいずれ相手は死ぬ