6 6 - 二人とも動かせる手の集合は同じ 7 7 - 動かせなくなった方が負け 8 8 - 無限ループしない 9 9 10 10 nim 11 11 - n 個の石の山がある 12 12 - 一手で 1 ～ n 個取っていい 13 - - 最後の石を取った方が勝ち（石がなくなって打つ手が無くなった方が負け） 13 + - 石がなくなって打つ手が無くなった方が負け（最後の石を取った方が勝ち） 14 14 15 15 *n をサイズ n の山が1個だけの nim とする 16 16 - *0 は負け 17 17 - *n は勝ち n>=1 18 18 19 19 ------------------------------------------------------------------------------------------- 20 20 ゲーム ................................................................................ 23 23 24 24 ゲームの和 25 25 - G1 + G2 を、G1 と G2 の二つのゲームがあって、どちらかを選んで一手進められるゲームとする。 26 26 すなわち G1 + G2 = {(v,G2) | v∈G1} ∪ {(G1,u) | u∈G2} 27 27 28 28 等価 29 29 - 二つのゲームG, Fが等価なことを G ≡ F と書く 30 - 等価というのは勝ち負け一致よりもっと強い。二つのゲームの和 G+F が必敗になること。 30 + 等価というのは勝ち負け一致よりもっと強い。二つのゲームの和 G+F が必敗になることと定義する。 31 31 たとえば *n と *n は同サイズの山2つのnimは必敗なので等価。同サイズでなければ必勝なので等価でない 32 32 等価というのは可能な動きの構造がisomorphic/bisimilarというよりは弱い。 33 33 たとえば以下で示すように *1 + *3 ≡ *2 だが初手のパターン数など違う。 34 34 35 35 ------------------------------------------------------------------------------------------- 36 -定理：等価(和を取ると必敗) => 勝ち負け一致 37 - - 必勝ゲーム+必敗ゲーム なら初手で必勝を必敗に変えて常にその状態を保てば勝てる。 38 - ゆえに勝ち負けが一致しないなら和をとったゲームは必勝。 39 - 必敗 + 必敗 = 必敗 40 - 必勝 + 必敗 = 必勝 36 +補題：必敗 + 必敗 = 必敗 37 +　- どう動かしてもと必勝+必敗になるので必敗+必敗に戻されて負ける 38 + 39 +補題：必勝 + 必敗 = 必勝 40 +　- 必敗+必敗 に動かせばよい 41 + 42 +定理：【等価(和を取ると必敗) => 勝ち負け一致】 43 + - 勝ち負け不一致=>必勝が上の補題で言えているので証明終了 41 44 42 45 注意： 43 46 必勝 + 必勝 = 必敗 44 47 は成り立たない！ *2 + *1 は 初手で *1 + *1 に行けるのでこれは勝てる 45 48 46 49 補題：G+G は必敗 47 50 　- まねっこmoveをされると負けるしかない 48 51 49 -補題：A≡B ならば A+C≡B+C 50 - - A+C+B+C = (A+B)+(C+C) = 必敗+必敗 = 必敗 52 +補題：A≡A', B≡B' ならば A+B≡A'+B' 53 + - A+B+A'+B' = (A+A')+(B+B') = 必敗+必敗 = 必敗 51 54 52 -補題：A≡B ならば {A,G1,G2,...}≡{B,G1,G2,...} 53 -　- {A,G1,G2,...}+{B,G1,G2,...} は必敗。なぜならこちらがどう動かしても 54 - A+B, G1+G1, G2+G2, ... のいずれかの必敗状態に遷移させられるから。 55 +補題：Ai≡Ai' ならば {A0,A1,A2,...}≡{A0',A1',A2',...} 56 +　- {A0,A1,A2,...}+{A0',A1',A2',...} は必敗。なぜならこちらがどう動かしても 57 + A0+A0', A1+A1', A2+A2', ... のいずれかの必敗状態に遷移させられるから。 55 58 56 59 ------------------------------------------------------------------------------------------- 57 60 定理【ゲームの和はxor】 58 61 - *n1 + *n2 = *(n1 xor n2) 59 62 - より一般的に G1≡*n1, G2≡*n2 ならば、G1 + G2 ≡ *(n1 xor n2) 60 63 61 64 証明 62 65 - *n1 + *n2 + *(n1 xor n2) が必敗であることを言えば良い。 63 66 - (n1 xor n2 xor (n1 xor n2)) は 0 である 64 67 - 一手動かすと 0 じゃなくなる 65 68 >> n1 と n2 と n1^n2 のどれか一個だけビットが変わるので絶対xorが変わるから 66 69 - 相手は一手動かして 0 に戻せる 67 - >> 常に 70 + >> a^b^c = x が非ゼロの場合 a=>a^x か b=>b^x か c=>c^x と動かせばよい 71 + >> つまりa,b,cのどれかは^xすると減ることを言えばよい。 72 + >> a,b,cのうち最上位ビットが立っているものが奇数個ならxも立つのでxorすれば減る 73 + >> 偶数個(2個)なら、その最上位ビットを無視した残りをa',b',c'とするとこれも 74 + >> xorがxなので数学的帰納法的にやることにより巧い減らし方が見つかる。 68 75 - よって最終局面"全部 0"になるのは絶対に自分のターン 69 - 70 76 71 77 ------------------------------------------------------------------------------------------- 72 78 定理【ゲームの状態遷移はmex】 73 79 - {*n1, ..., *nk} ≡ *mex(n1,...,nk) 74 80 where mex(S) = min(nat \setminus S) 75 81 76 82 - より一般的に G1≡*n1, ..., Gk≡*nk ならば、G={G1, ..., Gk} ≡ *mex(n1,...,nk) ................................................................................ 90 96 91 97 ・一手動かした次の局面が *n1 または *n2 または ... なゲーム 92 98 　　{*n1, ..., *nk} = *mex(n1, ..., nk) 93 99 ・ゲーム *n1 と *n2 とどちらかを選んで一手進められるゲーム 94 100 　　*n1 + *n2 = *(n1 xor n2) 95 101 ・ゲーム *n1 と *n2 とどちらか一方または両方一気に進められるゲーム 96 102 　　*n1 <+> *n2 = *(n1 + n2) //単に１個の山なのとかわらない 97 -・両方一手ずつ進めるゲーム？ 103 +・両方一手ずつ進めるゲーム？？？？？ 98 104 　　*n1 X *n2 = ?