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   27          *n と *n は同サイズの山2つのnimは必敗なので等価。同サイズでなければ必勝なので等価でない                             27          *n と *n は同サイズの山2つのnimは必敗なので等価。同サイズでなければ必勝なので等価でない
   28                                                                                        28  
   29      定理                                                                                29      定理
   30        - G1≡*n1, ..., Gk≡*nk ならば、G={G1, ..., Gk} ≡ *mex(n1,...,nk)                     30        - G1≡*n1, ..., Gk≡*nk ならば、G={G1, ..., Gk} ≡ *mex(n1,...,nk)
   31          where mex(S) = min(nat \setminus S)                                           31          where mex(S) = min(nat \setminus S)
   32          帰納的に、全てのゲームはなんらかの *n と等価                                                      32          帰納的に、全てのゲームはなんらかの *n と等価
   33                                                                                        33  
                                                                                        >    34      定理の証明
                                                                                        >    35        - {G1, ..., Gk} は *mex(n1,...,nk) と等価。
                                                                                        >    36          つまり和を取ると必敗。
                                                                                        >    37          *mex(n1,...,nk) 側を動かした場合、相手は対応する Gi に���移する。
                                                                                        >    38          {G} 側を mex(n1,...,nk) より小さいゲームに動かした場合���mex側を対応する値に変える。
                                                                                        >    39          {G} 側を mex より大きいゲームに動かした場合、その大きいゲームをmexに下げる。
                                                                                        >    40          で両側等価を保ててしまう。
                                                                                        >    41  
                                                                                        >    42      等価(和を取ると必敗) => 勝ち負け一致 の証明
                                                                                        >    43        - 偶奇を考えれば良い。必勝ゲーム+必敗ゲーム なら初���で必勝を必敗に変えて常にその状態を
                                                                                        >    44          保てば勝てる。ゆえに一致しないなら和をとったゲームは必勝。
                                                                                        >    45  
   34                                                                                        46  
   35  おまけ                                                                                   47  おまけ
   36    @G を G のnim値とする。つまりG≡*@G                                                            48    @G を G のnim値とする。つまりG≡*@G
   37    G = X + Y ならば @G = @X xor @Y                                                        49    G = X + Y ならば @G = @X xor @Y
   38    山が複数のnimの勝敗は全部xorとった1つ山のnimに等しいのと同じ原理。                                              50    山が複数のnimの勝敗は全部xorとった1つ山のnimに等しいのと同じ原理。