23dfcca431 2011-02-23 kinaba: // SRM338 Div1 LV3 23dfcca431 2011-02-23 kinaba: 23dfcca431 2011-02-23 kinaba: 定理のステートメント 23dfcca431 2011-02-23 kinaba: 23dfcca431 2011-02-23 kinaba: 対象となるゲーム 23dfcca431 2011-02-23 kinaba: - 二人ゲーム 23dfcca431 2011-02-23 kinaba: - 二人とも動かせる手の集合は同じ 23dfcca431 2011-02-23 kinaba: - 動かせなくなった方が負け 23dfcca431 2011-02-23 kinaba: - 無限ループしない 23dfcca431 2011-02-23 kinaba: 23dfcca431 2011-02-23 kinaba: nim 23dfcca431 2011-02-23 kinaba: - サイズ s1, s2, .., sk の山がある 23dfcca431 2011-02-23 kinaba: - どれか一つ山を選んで 1 ～ 山サイズ の任意個取り除ける 23dfcca431 2011-02-23 kinaba: - 最後の山を取った方が勝ち（山がなくなって打つ手が無くなった方が負け） 23dfcca431 2011-02-23 kinaba: 23dfcca431 2011-02-23 kinaba: *n をサイズ n の山が1個だけの nim とする 23dfcca431 2011-02-23 kinaba: - *0 は負け 23dfcca431 2011-02-23 kinaba: - *n は勝ち n>=1 23dfcca431 2011-02-23 kinaba: 23dfcca431 2011-02-23 kinaba: ゲーム 23dfcca431 2011-02-23 kinaba: - 状態 G から打てる手で遷移する先を G1, ..., Gk とする 23dfcca431 2011-02-23 kinaba: G = {G1, ..., Gk} と書く 23dfcca431 2011-02-23 kinaba: 23dfcca431 2011-02-23 kinaba: 等価 23dfcca431 2011-02-23 kinaba: - 二つのゲームG, Fが等価なことを G ≡ F と書く 23dfcca431 2011-02-23 kinaba: 等価というのは勝ち負け一致よりもっと強い。二つのゲームの和を取ると必敗になること 23dfcca431 2011-02-23 kinaba: *n と *n は同サイズの山2つのnimは必敗なので等価。同サイズでなければ必勝なので等価でない 23dfcca431 2011-02-23 kinaba: 23dfcca431 2011-02-23 kinaba: 定理 23dfcca431 2011-02-23 kinaba: - G1≡*n1, ..., Gk≡*nk ならば、G={G1, ..., Gk} ≡ *mex(n1,...,nk) 23dfcca431 2011-02-23 kinaba: where mex(S) = min(nat \setminus S) 23dfcca431 2011-02-23 kinaba: 帰納的に、全てのゲームはなんらかの *n と等価 ab42899859 2012-10-31 kinaba: ab42899859 2012-10-31 kinaba: 定理の証明 ab42899859 2012-10-31 kinaba: - {G1, ..., Gk} は *mex(n1,...,nk) と等価。 ab42899859 2012-10-31 kinaba: つまり和を取ると必敗。 ab42899859 2012-10-31 kinaba: *mex(n1,...,nk) 側を動かした場合、相手は対応する Gi に遷移する。 ab42899859 2012-10-31 kinaba: {G} 側を mex(n1,...,nk) より小さいゲームに動かした場合、mex側を対応する値に変える。 ab42899859 2012-10-31 kinaba: {G} 側を mex より大きいゲームに動かした場合、その大きいゲームをmexに下げる。 ab42899859 2012-10-31 kinaba: で両側等価を保ててしまう。 ab42899859 2012-10-31 kinaba: ab42899859 2012-10-31 kinaba: 等価(和を取ると必敗) => 勝ち負け一致 の証明 ab42899859 2012-10-31 kinaba: - 偶奇を考えれば良い。必勝ゲーム+必敗ゲーム なら初手で必勝を必敗に変えて常にその状態を ab42899859 2012-10-31 kinaba: 保てば勝てる。ゆえに一致しないなら和をとったゲームは必勝。 23dfcca431 2011-02-23 kinaba: 23dfcca431 2011-02-23 kinaba: 23dfcca431 2011-02-23 kinaba: おまけ 23dfcca431 2011-02-23 kinaba: @G を G のnim値とする。つまりG≡*@G 23dfcca431 2011-02-23 kinaba: G = X + Y ならば @G = @X xor @Y 23dfcca431 2011-02-23 kinaba: 山が複数のnimの勝敗は全部xorとった1つ山のnimに等しいのと同じ原理。